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author | kieutrang1729 <67156758+kieutrang1729@users.noreply.github.com> | 2021-07-11 16:28:54 +0200 |
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committer | GitHub <noreply@github.com> | 2021-07-11 16:28:54 +0200 |
commit | a1286822de3f375b804bf95588d6ef53c4c14e6c (patch) | |
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[set-theory/fr] Added French translation for Set theory (#4168)
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Added a french translation for set theory.
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J'ai fait presque tous les changements suggérés.
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diff --git a/fr-fr/set-theory-fr.html.markdown b/fr-fr/set-theory-fr.html.markdown new file mode 100644 index 00000000..50a4ea30 --- /dev/null +++ b/fr-fr/set-theory-fr.html.markdown @@ -0,0 +1,134 @@ +``` +--- +category: tool +lang: fr-fr +name: Set theory +contributors: + - ["kieutrang", "https://github.com/kieutrang1729"] +--- +La théorie des ensembles est une branche des mathématiques qui étudie les ensembles, leurs opérations et leurs propriétés. + +* Un ensemble est une collection d'éléments disjoints. + +## Symboles de base + +### Opérateurs +* l'opérateur réunion, `∪`, signifie "ou" ; +* l'opérateur intersection, `∩`, signifie "et" ; +* l'opérateur différence, `\`, signifie "sans", (lire "A moins B") ; +* l'opérateur complémentaire, `'`, signifie "le complémentaire de" ; +* l'opérateur croix, `×`, signifie "le produit cartésien de". + +### Autres symboles +* le symbole deux-points, `:`, signifie "tel que" ; +* le symbole d'appartenance, `∈`, signifie "appartient à" ; +* le symbole sous-ensemble, `⊆`, signifie "est un sous-ensemble de" ; +* le symbole sous-ensemble propre, `⊂`, signifie "est un sous-ensemble de mais n'est pas égal à". + +### Ensembles importants +* `∅`, l'ensemble vide, c'est-à-dire l'ensemble ne contenant aucun élément ; +* `ℕ`, l'ensemble des nombres naturels ; +* `ℤ`, l'ensemble des entiers ; +* `ℚ`, l'ensemble des nombres rationnels ; +* `ℝ`, l'ensemble des nombres réels. + +Quelques mise en gardes sur les ensembles definis ci-dessus: +1. Même si l'ensemble vide ne contient aucun élément, il est lui-même un sous-ensemble de n'importe quel ensemble. +2. Il n'y a pas d'accord général sur l'appartenance de zéro dans l'ensemble des nombres naturels, et les livres indiquent explicitment si l'auteur considère le zéro comme nombre naturel ou pas. + + +### Cardinalité + +La cardinalité, ou taille, d'un ensemble est déterminée par le nombre d'éléments dans l'ensemble. L'opérateur de cardinalité s'écrit, `| ... |`. +Par exemple, si `S = { 1, 2, 4 }`, alors `|S| = 3`. + +### L'ensemble vide +* L'ensemble vide peut se définir en comprehension à l'aide d'une propriété qui n'est satisfaite par nul élément, e.g. `∅ = { x : x ≠ x }`, ou `∅ = { x : x ∈ N, x < 0 }`. +* il n'y a qu'un seul ensemble vide. +* l'ensemble vide est sous-ensemble de tout ensemble. +* la cardinalité de l'ensemble vide est 0, ou `|∅| = 0`. + +## Notation ensembliste + +### Définition par extension + +Un ensemble peut être defini en extension par une liste de tous les éléments qui sont contenus dans l'ensemble. Par exemple, `S = { a, b, c, d }`. + +Quand le contexte est clair, on peut raccourcir la liste en utilisant des points de suspension. Par exemple, `E = { 2, 4, 6, 8, ... }` est clairement l'ensemble de tous les nombres pairs, contenant un nombre infini des éléments, même si on a explicitement écrit seulement les quatres premiers. + +### Définition par comprehension + +C'est une notation plus descriptif qui permet de définir un ensemble à l'aide d'un sujet et d'une propriété, et il est noté `S = { sujet : propriété }`. Par exemple, + +``` +A = { x : x est une voyelle } = { a, e, i, o, u, y} +B = { x : x ∈ N, x < 10 } = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } +C = { x : x = 2k, k ∈ N } = { 0, 2, 4, 6, 8, ... } +``` + +On peut même appliquer une fonction au sujet, e.g. + +``` +D = { 2x : x ∈ N } = { 0, 2, 4, 6, 8, ... } +``` + +## Relations + +### Appartenance + +* Si l'élement `a` est dans l'ensemble `A`, on dit que `a` appartient à `A` et on le note `a ∈ A`. +* Si l'élement `a` n'est pas dans l'ensemble `A`, on dit que `a` n'appartient pas à `A` et on le note `a ∉ A`. + +### Égalité + +* On dit que deux ensembles `A` et `B` sont égaux s'ils contiennent les mêmes éléments, et on le note `A = B`. +* Les ensembles n'ont pas de notion d'ordre, par exemple `{ 1, 2, 3, 4 } = { 2, 3, 1, 4 }`. +* Un élément ne peut apparaître qu'au plus une seule fois - il n'y a jamais de répétition, e.g. `{ 1, 2, 2, 3, 4, 3, 4, 2 } = { 1, 2, 3, 4 }`. +* Deux ensembles `A` and `B` sont égaux si et seulement si `A ⊆ B` and `B ⊆ A`. + +## Ensemble puissance +* L'ensemble puissance d'un ensemble `A` est l'ensemble contenant tous les sous-ensembles de `A`. Il est noté `P(A)`. Si la cardinalité d'`A` est `n`, la cardinalité de `P(A)` est `2^n`. + +``` +P(A) = { x : x ⊆ A } +``` + +## Opérations ensemblistes +### Réunion +La réunion de deux ensembles `A` et `B` est l'ensemble contenant tous les éléments qui appartient à `A` ou à `B`. + +``` +A ∪ B = { x : x ∈ A ∪ x ∈ B } +``` + +### Intersection +L'intersection de deux ensembles `A` et `B` est l'ensemble contenant tous les éléments qui appartient à la fois à `A` et à `B`. + +``` +A ∩ B = { x : x ∈ A, x ∈ B } +``` + +### Différence +La différence de deux ensembles `A` et `B` est l'ensemble contenant tous les éléments de l'ensemble `A` qui n'appartient pas à `B`. + +``` +A \ B = { x : x ∈ A, x ∉ B } +``` + +### Différence symétrique +Le différence symétrique de deux ensembles `A` et `B` est l'ensemble contenant tous les éléments de `A` et `B` qui n'apparaissent pas dans leur intersection. + +``` +A △ B = { x : ((x ∈ A) ∩ (x ∉ B)) ∪ ((x ∈ B) ∩ (x ∉ A)) } + +A △ B = (A \ B) ∪ (B \ A) +``` + +### Produit cartésien +Le produit cartésien de deux ensembles `A` et `B` est l'ensemble contenant tous les couples dont la première élément appartient à `A` et la deuxième à `B`. + +``` +A × B = { (x, y) | x ∈ A, y ∈ B } +``` + +``` |