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+---
+category: Algorithms & Data Structures
+name: Set theory
+contributors:
+---
+集合论是数学的一个分支，研究集合、它们的运算和它们的性质。
+
+
+* 集合由不重复的项组成。
+
+## 基本符号
+
+### 运算符
+* 并运算符，`∪`，表示“或”；
+* 交运算符，`∩`，表示“且”；
+* 差运算符，`\`，表示“不包括”；
+* 补运算符， `'`，表示补集;
+* 叉积运算符，`×`，表示笛卡尔积。
+
+### 限定词
+* 冒号限定词， `:`，表示“使得”；
+* 从属限定词，`∈`，表示“属于”；
+* 子集限定词， `⊆`, 表示“是……的子集”;
+* 真子集限定词， `⊂`，表示“是……的真子集”。
+
+
+###  重要的集合
+* `∅`， 空集，即不包含任何元素的集合；
+* `ℕ`，自然数集；
+* `ℤ`，整数集；
+* `ℚ`，有理数集；
+* `ℝ`，实数集。
+
+关于以上集合，有如下几点需要注意：
+1. 空集是其本身的子集（并且也是任何其他集合的子集），即便空集不包含任何项；
+2. 数学家们对于零是否为自然数的看法通常并不统一，教科书一般会明确说明作者是否认为零是自然数。
+
+### 基数
+
+集合的基数，或者说大小，由该集合中的项目数量决定。基数运算符为 `|...|`。
+
+例如，若 `S = { 1, 2, 4 }`，则 `|S| = 3`。
+
+### 空集
+  
+* 可以在集合符号中使用不成立的条件来构造空集，例如，`∅ = { x : x ≠ x }`，或 `∅ = { x : x ∈ N, x < 0 }`；
+* 空集总是唯一的（即，有且只有一个空集）；
+* 空集是所有集合的子集；
+* 空集的基数为 0，即， `|∅| = 0`。
+
+## 集合的表示
+
+### 集合的逐项构造
+
+集合可以通过包含其全部项的列表逐项生成。例如，`S = { a, b, c, d }`。
+
+只要构成集合的项清楚，长列表可以用省略号缩短。例如，`E = { 2, 4, 6, 8, ... }` 显然为所有偶数构成的集合，它包含无穷多项，虽然我们只显式写出了其中四项。
+
+### 集合构造器
+
+集合构造器符号是构造集合的一种更具描述性的方式。它依赖于一个主语和一个谓词，使得 `S = { 主语 : 谓词 }`。 例如，
+
+```
+A = { x : x 是元音字母 } = { a, e, i, o, u, y}
+B = { x : x ∈ N, x < 10 } = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
+C = { x : x = 2k, k ∈ N } = { 0, 2, 4, 6, 8, ... }
+```
+
+有时，谓语可能会 "漏 "到主语中，例如，
+
+```
+D = { 2x : x ∈ N } = { 0, 2, 4, 6, 8, ... }
+```
+
+## 关系
+
+### 从属关系
+
+* 如果值 `a` 包含在集合 `A` 中，那么我们说 `a` 属于 `A`，并用符号表示为 `a ∈ A`。
+* 如果值 `a` 不包含于集合 `A` 中，那么我们说 `a` 不属于 `A`，并用符号表示为 `a ∉ A`。
+
+### 相等关系
+
+* 如果两个集合包括相同的项，那么我们说这两个集合相等，例如，`A = B`。
+* 集合的相等关系于顺序无关，例如， `{ 1, 2, 3, 4 } = { 2, 3, 1, 4 }`。
+* 集合中的元素不能重复, e.g. `{ 1, 2, 2, 3, 4, 3, 4, 2 } = { 1, 2, 3, 4 }`。
+* 集合 `A` 与 `B` 相等当且仅当`A ⊆ B` 且 `B ⊆ A`。
+
+## 特殊集合
+
+### 幂集
+
+* 令 `A` 为任意集合。幂集指的是包括了 `A` 的所有子集的集合，记作 `P(A)`。如果集合 `A` 由 `2n` 个元素组成，那么 `P(A)` 中有 `2^n` 个元素。
+
+```
+P(A) = { x : x ⊆ A }
+```
+
+## 两个集合的运算
+### 并
+
+给定集合 `A` 和 `B`，两个集合的并由出现在 `A` 或 `B` 中的项构成，记作 `A ∪ B`。
+
+```
+A ∪ B = { x : x ∈ A ∪ x ∈ B }
+```
+
+### 交
+
+给定集合 `A` 和 `B`，两个集合的交由出现在 `A` 和 `B` 中的项构成，记作 `A ∩ B`。
+
+```
+A ∩ B = { x : x ∈ A, x ∈ B }
+```
+
+### 差
+给定集合 `A` 和 `B`，`A` 对于 `B` 的集合差指的是属于 `A` 但不属于 `B` 的每一项。
+
+```
+A \ B = { x : x ∈ A, x ∉ B }
+```
+
+### 对称差
+给定集合 `A` 和 `B`，对称差指的是属于 `A` 或 `B` 但不属于它们交集的所有项。
+
+```
+A △ B = { x : ((x ∈ A) ∩ (x ∉ B)) ∪ ((x ∈ B) ∩ (x ∉ A)) }
+
+A △ B = (A \ B) ∪ (B \ A)
+```
+
+### 笛卡尔积
+给定集合 `A` 和 `B`，`A` 和 `B` 的笛卡尔积由 `A` 和 `B` 的项的所有组合构成。
+
+```
+A × B = { (x, y) | x ∈ A, y ∈ B }
+```