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La primera "x" es el argumento de la función y la segunda es el +cuerpo de la función. + +## Variables Libres vs. Enlazadas: + +- En la función `λx.x`, "x" se llama una variable enlazada porque está tanto en + el cuerpo de la función como en el parámetro. +- En `λx.y`, "y" se llama variable libre porque nunca se declara de antemano. + +## Evaluación: + +Evaluación se realiza a través de +[β-Reduction](https://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_lambda#%CE%B2-reducci%C3%B3n), +que es, esencialmente, sustitución de ámbito léxico. + +Al evaluar la expresión `(λx.x)a`, reemplazamos todas las ocurrencias de "x" +en el cuerpo de la función con "a". + +- `(λx.x)a` evalúa a: `a` +- `(λx.y)a` evalúa a: `y` + +Incluso puedes crear funciones de orden superior: + +- `(λx.(λy.x))a` evalúa a: `λy.a` + +Aunque el cálculo lambda tradicionalmente solo admite funciones +de un solo parámetro, podemos crear funciones multiparamétricas usando +una técnica llamada [Currificación](https://es.wikipedia.org/wiki/Currificación). + +- `(λx.λy.λz.xyz)` es equivalente a `f(x, y, z) = ((x y) z)` + +Algunas veces `λxy.<cuerpo>` es usado indistintamente con: `λx.λy.<cuerpo>` + +---- + +Es importante reconocer que el cálculo lambda tradicional **no tiene números, +caracteres ni ningún tipo de datos que no sea de función.** + +## Lógica Booleana: + +No hay "Verdadero" o "Falso" en el cálculo lambda. Ni siquiera hay un 1 o un 0. + +En vez: + +`T` es representado por: `λx.λy.x` + +`F` es representado por: `λx.λy.y` + +Primero, podemos definir una función "if" `λbtf` que devuelve +`t` si `b` es Verdadero y `f` si `b` es Falso + +`IF` es equivalente a: `λb.λt.λf.b t f` + +Usando `IF` podemos definir los operadores lógicos booleanos básicos: + +`a AND b` es equivalente a: `λab.IF a b F` + +`a OR b` es equivalente a: `λab.IF a T b` + +`a NOT b` es equivalente a: `λa.IF a F T` + +*Note: `IF a b c` es esencialmente diciendo: `IF((a b) c)`* + +## Números: + +Aunque no hay números en el cálculo lambda, podemos codificar números usando +[Númeral de Church](https://en.wikipedia.org/wiki/Church_encoding). + +Para cualquier número n: <code>n = λf.f <sup> n </sup></code> así: + +`0 = λf.λx.x` + +`1 = λf.λx.f x` + +`2 = λf.λx.f(f x)` + +`3 = λf.λx.f(f(f x))` + +Para incrementar un númeral de Church, usamos la función sucesora +`S(n) = n + 1` que es: + +`S = λn.λf.λx.f((n f) x)` + +Usando el sucesor, podemos definir AGREGAR: + +`AGREGAR = λab.(a S)n` + +**Desafío:** intenta definir tu propia función de multiplicación! + +## Vamos más pequeño: SKI, SK y Iota + +### Combinador de SKI + +Sean S, K, I las siguientes funciones: + +`I x = x` + +`K x y = x` + +`S x y z = x z (y z)` + +Podemos convertir una expresión en el cálculo lambda en una expresión +en el cálculo del combinador de SKI: + +1. `λx.x = I` +2. `λx.c = Kc` +3. `λx.(y z) = S (λx.y) (λx.z)` + +Tome el número 2 de Church por ejemplo: + +`2 = λf.λx.f(f x)` + +Para la parte interior `λx.f(f x)`: +``` + λx.f(f x) += S (λx.f) (λx.(f x)) (case 3) += S (K f) (S (λx.f) (λx.x)) (case 2, 3) += S (K f) (S (K f) I) (case 2, 1) +``` + +Así que: +``` + 2 += λf.λx.f(f x) += λf.(S (K f) (S (K f) I)) += λf.((S (K f)) (S (K f) I)) += S (λf.(S (K f))) (λf.(S (K f) I)) (case 3) +``` + +Para el primer argumento `λf.(S (K f))`: +``` + λf.(S (K f)) += S (λf.S) (λf.(K f)) (case 3) += S (K S) (S (λf.K) (λf.f)) (case 2, 3) += S (K S) (S (K K) I) (case 2, 3) +``` + +Para el segundo argumento `λf.(S (K f) I)`: +``` + λf.(S (K f) I) += λf.((S (K f)) I) += S (λf.(S (K f))) (λf.I) (case 3) += S (S (λf.S) (λf.(K f))) (K I) (case 2, 3) += S (S (K S) (S (λf.K) (λf.f))) (K I) (case 1, 3) += S (S (K S) (S (K K) I)) (K I) (case 1, 2) +``` + +Uniéndolos: +``` + 2 += S (λf.(S (K f))) (λf.(S (K f) I)) += S (S (K S) (S (K K) I)) (S (S (K S) (S (K K) I)) (K I)) +``` + +Al expandir esto, terminaríamos con la misma expresión para el número 2 de Church nuevamente. + +### Cálculo del combinador SKI + +El cálculo del combinador SKI puede reducirse aún más. Podemos eliminar +el combinador I observando que `I = SKK`. Podemos sustituir +todos los 'I' con `SKK`. + +### Combinador Iota + +El cálculo del combinador SK todavía no se encuentra en su expresión mínima. +Definiendo: + +``` +ι = λf.((f S) K) +``` + +Tenemos que: + +``` +I = ιι +K = ι(ιI) = ι(ι(ιι)) +S = ι(K) = ι(ι(ι(ιι))) +``` + +## Para una lectura más avanzada: + +1. [A Tutorial Introduction to the Lambda Calculus](http://www.inf.fu-berlin.de/lehre/WS03/alpi/lambda.pdf) +2. [Cornell CS 312 Recitation 26: The Lambda Calculus](http://www.cs.cornell.edu/courses/cs3110/2008fa/recitations/rec26.html) +3. [Wikipedia - Lambda Calculus](https://es.wikipedia.org/wiki/Cálculo_lambda) +4. [Wikipedia - SKI combinator calculus](https://en.wikipedia.org/wiki/SKI_combinator_calculus) +5. [Wikipedia - Iota and Jot](https://en.wikipedia.org/wiki/Iota_and_Jot) |