--- category: Algorithms & Data Structures name: Asymptotic Notation contributors: - ["Jake Prather", "http://github.com/JakeHP"] translators: - ["João Farias", "https://github.com/JoaoGFarias"] lang: pt-br --- # Notação Assintótica ## O que é? Notação Assintótica é uma linguagem que nos permite analisar o tempo de execução de um algoritmo através da identificação de seu comportamento com o crescimento da entrada oferecida. Isso também é conhecido como taxa de crescimento do algoritmo. O algoritmo de repente torna-se lento quando o tamanho da entrada cresce? O algoritmo mantém, em geral, seu tempo de execução rápido mesmo com aumento da entrada? Notação Assintótica nos dá a habilidade de responder estas questões. ## Quais são as alternativas para responder a estas questões? Um modo seria contar o número de operações primitivas com diferentes tamanhos de entrada. Apesar desta ser uma solução válida, o trabalho que ela requer, mesmo para algoritmos simples, não a justifica. Outro modo é fisicamente medir a quantidade de tempo que um algoritmo requer para terminar com diferentes tamanhos de entrada. Entretanto, a precisão e relatividade (tempo obtido seria relativo apenas à máquina onde ocorreu a execução) deste método está limitado a variáveis de ambiente, como hardware, poder de processamento, etc. ## Tipos de Notação Assintótica Na primeira seção deste documento, descrevemos como Notação Assintótica identifica o comportamento de um algoritmo a medida que o tamanho da entrada cresce. Imaginemos um algoritmo como uma função *f*, *n* como o tamanho da entrada e *f(n)* sendo o tempo de execução. Então, para dado algoritmo *f*, com entrada de tamanho *n*, você terá tempo de execução *f(n)*. Isto resulta em um gráfico onde a coordenada Y é o tempo de execução, a coordenada X representa o tamanho da entrada e os pontos representam o tempo de execução para dado tamanho de entrada. Você pode representar a função, ou o algoritmo, com Notação Assintótica de várias maneiras. Você pode representar um algoritmo nas formas de Melhor Caso, Pior Caso ou Caso Médio. A maneira mais comum de analisar um algoritmo é pelo Pior Caso. Você tipicamente não avalia o melhor caso, porque essas condições não são atingidas com frequência. Um bom exemplo disto seria em algoritmos de ordenação; especificamente, na adição de elementos à árvores. O melhor caso na maioria de algoritmos pode ser de apenas uma operação. Entretanto, na maioria dos casos, o elemento a ser adicionado terá que percorrer a árvore de forma apropriada, o que pode causar a análise de um ramo inteiro. Este é o pior caso, e isto é o que você está se preparando. ### Tipos de funções, limites e simplificação ``` Função Logarítmica - log n Função Linear - an + b Função Quadrática - an^2 + bn + c Função Polinomial - an^z + . . . + an^2 + a*n^1 + a*n^0, onde *z* é uma constante Função Exponencial - a^n, onde a é alguma constante ``` Estas são as funções básicas de crescimento usadas em várias notações. A lista começa com a de crescimento mais lento (logarítmica, a de execução mais rápida) e segue para a de crescimento mais rápido (exponencial, de execução mais lenta). Repare que enquanto *n*, a entrada, cresce, cada uma dessas funções cresce mais rápido que quadrático, polinomial e exponencial, comparadas com logarítmica e linear. Uma nota extremamente importante para notações é tentar usar os termos mais simples. Isto significa descartar constantes e termos de ordem mais baixa, pois quando o tamanho da entrada cresce para o infinito (limites matemáticos), os termos de ordem mais baixa e constantes tornam-se irrelevantes. Por exemplo, se você tiver uma constante muito grande, 2^9001, a simplificação não afetará sua notação. Já que queremos as formas mais simples, mudemos nossa tabela um pouco... ``` Função Logarítmica - log n Função Linear - n Função Quadrática - n^2 Função Polinomial - n^z, onde *z* é uma constante Função Exponencial - a^n, onde *a* é uma constante ``` ### Big-O Big-O, também escrita como O, é uma Notação Assintótica para o pior caso. Digamos *f(n)* seja o tempo de execução de um algoritmo e *g(n)) um tempo de complexidade arbitrário que você quer relacionar com seu algoritmo. *f(n)* é O(g(n)), se, para quando constante real c (c > 0), *f(n)* <= *c g(n)* para todo tamanho de entrada n (n > 0). *Exemplo 1* ``` f(n) = 3log n + 100 g(n) = log n ``` `f(n)` é O(g(n))? `3 log n + 100` é O(log n)? Vejamos a definição de Big-O: ``` 3log n + 100 <= c * log n ``` Há alguma constante c que satisfaça a definição para todo n? ``` 3log n + 100 <= 150 * log n, n > 2 (Indefinido em n = 1) ``` Sim! A definição de Big-O foi atendida, portanto `f(n)` é `O(g(n))`. *Exemplo 2* ``` f(n) = 3*n^2 g(n) = n ``` `f(n)` é O(g(n))? `3 * n^2` é O(n)? Vejamos a definição de Big-O: ``` 3 * n^2 <= c * n ``` Há alguma constante c que satisfaça a definição para todo n? Não, não há. `f(n)` não é O(g(n)). ### Big-Omega Big-Omega, também escrita como Ω, é uma Notação Assintótica para o melhor caso. `f(n)`é Ω(g(n)), se para qualquer constante real c (c > 0), `f(n)` é >= `c g(n)` para todo tamanho de entrada n (n > 0). Sinta-se livre para adicionar mais exemplos. Big-O é a notação primária usada para medir complexidade de algoritmos. ### Notas Finais É difícil manter esse tipo de tópico curto e você deveria ler os livros e artigos listados abaixo. Eles cobrem muito mais profundamente definições e exemplos. Mais x='Algorithms & Data Structures' virá; teremos um documento sobre analisar código em breve. ## Livros * [Algorithms](http://www.amazon.com/Algorithms-4th-Robert-Sedgewick/dp/032157351X) * [Algorithm Design](http://www.amazon.com/Algorithm-Design-Foundations-Analysis-Internet/dp/0471383651) ## Artigos Online * [MIT](http://web.mit.edu/16.070/www/lecture/big_o.pdf) * [KhanAcademy](https://www.khanacademy.org/computing/computer-science/algorithms/asymptotic-notation/a/asymptotic-notation)