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category: Algorithms & Data Structures
name: Dynamic Programming
contributors:
    - ["Akashdeep Goel", "http://github.com/akashdeepgoel"]
translators:
   - ["EtaoinWu", "https://github.com/EtaoinWu"]
lang: zh-cn
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# 动态规划

## 简介

动态规划是一种实用的技巧，它可以用来解决一系列特定问题。它的思路很简单，如果你对某个给定的输入解决了一个问题，那么你可以保存已有信息，以避免重复计算，节约计算时间。

记住，如果忘记历史，就要被迫做更多的苦力。斐波那契数列就是一个显然的例子。

## 解决问题的方式

1. *自顶向下* : 利用分支策略分解问题。如果你已经解决过当前子问题了，那么就返回已有信息。如果当前子问题没有计算过，那么就对它进行计算。这样的方法很易于思考、很直观。这被称作“记忆化”。

2. *自底向上* : 首先分析问题，将问题分解为不同规模的问题，并决定它们的顺序，按顺序计算，直到解决给定规模的问题。这样的流程可以保证在解决较大的问题之前解决（它所依赖的）较小的问题。这种流程被称作“动态规划”。

## 动态规划的例子

最长上升子序列问题。给定`S= {a[1] , a[2] , a[3], a[4], ............., a[n-1], a[n] }`，求出一个子序列，使得对于所有在这个子序列中所有满足`j<i`的`j`与`i`，满足`aj<ai`。首先我们要讨论以原序列的第`i`个元素结尾的最长上升子序列`dp[i]`。那么答案是整个dp序列的最大值。考虑`dp[i]`，它的最后一个元素为`a[i]`。枚举它的倒数第二个元素`a[j]`，则`a[j]<a[i]`成立。则`dp[i]`就是所有这样的`dp[j]`的最大值加上1(最后一个元素)。这个算法具有*O(n^2)*的时间复杂度。

此算法的伪代码：

```python
for i=0 to n-1
    dp[i]=0
    for j=0 to i-1
        if (a[i] >  a[j] and dp[i]<dp[j])
            LS[i] = LS[j]
	dp[i]=dp[i]+1
for i=0 to n-1
    if (largest < dp[i])
		largest = dp[i]
```

这个算法的复杂度可以通过将数组换为其他数据结构来优化，来获得*O(n * log n)*的时间复杂度。

同样的思路可以求出有向无环图上的最大路径。

### 一些著名的动态规划问题及其实现

- Floyd Warshall 算法 - [教程与C实现源码](http://www.thelearningpoint.net/computer-science/algorithms-all-to-all-shortest-paths-in-graphs---floyd-warshall-algorithm-with-c-program-source-code)
- 整数背包问题 - [教程与C实现源码](http://www.thelearningpoint.net/computer-science/algorithms-dynamic-programming---the-integer-knapsack-problem)
- 最长公共子序列问题 - [教程与C实现源码](http://www.thelearningpoint.net/computer-science/algorithms-dynamic-programming---longest-common-subsequence)

## 在线资源

* [codechef](https://www.codechef.com/wiki/tutorial-dynamic-programming)
* [洛谷](https://www.luogu.org/problem/lists?name=&orderitem=pid&tag=3)