--- category: Algorithms & Data Structures name: Dynamic Programming contributors: - ["Akashdeep Goel", "http://github.com/akashdeepgoel"] filename: dynamic-programming-cn.html.markdown lang: zh-cn translators: - ["EtaoinWu", "https://github.com/EtaoinWu"] --- # 动态规划 ## 简介 动态规划是一种实用的技巧,它可以用来解决一系列特定问题。它的思路很简单,如果你对某个给定的输入解决了一个问题,那么你可以保存已有信息,以避免重复计算,节约计算时间。 记住,只有那些没有办法记住历史的才被迫做更多的苦力。(Fibonacci就是一个显然的例子) ## 解决问题的方式 1. *自顶向下* : 利用分支策略分解问题。如果你已经解决过当前子问题了,那么就返回已有信息。如果当前子问题没有计算过,那么就对它进行计算。这样的方法很易于思考、很直观。这被称作“记忆化”。 2. *自底向上* : 首先分析问题,将问题分解为不同规模的问题,并决定它们的顺序,按顺序计算,直到解决给定规模的问题。这样的流程可以保证在解决较大的问题之前解决(它所依赖的)较小的问题。这种流程被称作“动态规划”。 ## 动态规划的例子 最长上升子序列问题。给定`S= {a[1] , a[2] , a[3], a[4], ............., a[n-1], a[n] }`,求出一个子序列,使得对于所有在这个子序列中所有满足`j<i`的`j`与`i`,满足`aj<ai`。首先我们要讨论以原序列的第`i`个元素结尾的最长上升子序列`dp[i]`。那么答案是整个dp序列的最大值。考虑`dp[i]`,它的最后一个元素为`a[i]`。枚举它的倒数第二个元素`a[j]`,则`a[j]<a[i]`成立。则`dp[i]`就是所有这样的`dp[j]`的最大值加上1(最后一个元素)。这个算法具有*O(n^2)*的时间复杂度。 此算法的伪代码: ```python for i=0 to n-1 dp[i]=0 for j=0 to i-1 if (a[i] > a[j] and dp[i]<dp[j]) LS[i] = LS[j] dp[i]=dp[i]+1 for i=0 to n-1 if (largest < dp[i]) largest = dp[i] ``` 这个算法的复杂度可以通过将数组换为其他数据结构来优化,来获得*O(n * log n)*的时间复杂度。 同样的思路可以求出有向无环图上的最大路径。 ### 一些著名的动态规划问题及其实现 - Floyd Warshall 算法 - [教程与C实现源码](http://www.thelearningpoint.net/computer-science/algorithms-all-to-all-shortest-paths-in-graphs---floyd-warshall-algorithm-with-c-program-source-code) - 整数背包问题 - [教程与C实现源码](http://www.thelearningpoint.net/computer-science/algorithms-dynamic-programming---the-integer-knapsack-problem) - 最长公共子序列问题 - [教程与C实现源码](http://www.thelearningpoint.net/computer-science/algorithms-dynamic-programming---longest-common-subsequence) ## 在线资源 * [codechef](https://www.codechef.com/wiki/tutorial-dynamic-programming) * [洛谷](https://www.luogu.org/problem/lists?name=&orderitem=pid&tag=3)