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diff --git a/zh-cn/lambda-calculus-cn.html.markdown b/zh-cn/lambda-calculus-cn.html.markdown new file mode 100644 index 00000000..7719ee71 --- /dev/null +++ b/zh-cn/lambda-calculus-cn.html.markdown @@ -0,0 +1,223 @@ +--- +category: Algorithms & Data Structures +name: Lambda Calculus +lang: zh-cn +contributors: + - ["Max Sun", "http://github.com/maxsun"] + - ["Yan Hui Hang", "http://github.com/yanhh0"] +translators: + - ["Maoyin Sun", "https://github.com/simonmysun"] +--- + +# Lambda 演算 + +Lambda 演算(lambda calculus, λ-calculus), +最初由[阿隆佐·邱奇][]([Alonzo Church][])提出, +是世界上最小的编程语言. +尽管没有数字, 字符串, 布尔或者任何非函数的数据类型, +lambda 演算仍可以表示任何图灵机. + +[阿隆佐·邱奇]: https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%98%BF%E9%9A%86%E4%BD%90%C2%B7%E9%82%B1%E5%A5%87 +[Alonzo Church]: https://en.wikipedia.org/wiki/Alonzo_Church + +Lambda 演算由三种元素组成: **变量**(variables)、**函数**(functions)和**应用**(applications)。 + +| 名称 | 语法 | 示例 | 解释 | +|------|----------------------|-----------|--------------------------------------------------| +| 变量 | `<变量名>` | `x` | 一个名为"x"的变量 | +| 函数 | `λ<参数>.<函数体>` | `λx.x` | 一个以"x"(前者)为参数、以"x"(后者)为函数体的函数 | +| 应用 | `<函数><变量或函数>` | `(λx.x)a` | 以"a"为参数调用函数"λx.x" | + +最基本的函数为恒等函数: `λx.x`, 它等价于`f(x) = x`. +第一个"x"为函数的参数, 第二个为函数体. + +## 自由变量和约束变量: + +- 在函数`λx.x`中, "x"被称作约束变量因为它同时出现在函数体和函数参数中. +- 在`λx.y`中, "y"被称作自由变量因为它没有被预先声明. + +## 求值: + +求值操作是通过[β-归约][]([β-Reduction][])完成的, +它本质上是词法层面上的替换. + +[β-归约]: https://zh.wikipedia.org/wiki/%CE%9B%E6%BC%94%E7%AE%97#'%22%60UNIQ--postMath-0000006F-QINU%60%22'-%E6%AD%B8%E7%B4%84 +[β-Reduction]: https://en.wikipedia.org/wiki/Lambda_calculus#Beta_reduction + +当对表达式`(λx.x)a`求值时, 我们将函数体中所有出现的"x"替换为"a". + +- `(λx.x)a`计算结果为: `a` +- `(λx.y)a`计算结果为: `y` + +你甚至可以创建高阶函数: + +- `(λx.(λy.x))a`计算结果为: `λy.a` + +尽管 lambda 演算传统上仅支持单个参数的函数, +但我们可以通过一种叫作[柯里化][]([Currying][])的技巧创建多个参数的函数. + +[柯里化]: https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%9F%AF%E9%87%8C%E5%8C%96 +[Currying]: https://en.wikipedia.org/wiki/Currying + +- `(λx.λy.λz.xyz)`等价于`f(x, y, z) = ((x y) z)` + +有时`λxy.<body>`与`λx.λy.<body>`可以互换使用. + +---- + +认识到传统的 **lambda 演算没有数字, 字符或者任何非函数的数据类型**很重要. + +## 布尔逻辑: + +在 lambda 演算中没有"真"或"假". 甚至没有 1 或 0. + +作为替换: + +`T`表示为: `λx.λy.x` + +`F`表示为: `λx.λy.y` + +首先, 我们可以定义一个"if"函数`λbtf`, 它当`b`为真时返回`t`, +`b`为假时返回`f` + +`IF`等价于: `λb.λt.λf.b t f` + +通过`IF`, 我们可以定义基本的布尔逻辑运算符: + +`a AND b`等价于: `λab.IF a b F` + +`a OR b`等价于: `λab.IF a T b` + +`NOT a`等价于: `λa.IF a F T` + +*注意: `IF a b c`本质上指: `IF((a b) c)`* + +## 数字： + +尽管 lambda 演算中没有数字, +我们还可以用[邱奇编码][]([Church numerals][])将数字嵌入到 lambda 演算中. + +[邱奇编码]: https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%82%B1%E5%A5%87%E7%BC%96%E7%A0%81 +[Church numerals]: https://en.wikipedia.org/wiki/Church_encoding + +对于任意数字 n: <code>n = λf.f<sup>n</sup></code> 所以: + +`0 = λf.λx.x` + +`1 = λf.λx.f x` + +`2 = λf.λx.f(f x)` + +`3 = λf.λx.f(f(f x))` + +要增加一个邱奇数, 我们使用后继函数`S(n) = n + 1`: + +`S = λn.λf.λx.f((n f) x)` + +使用后继函数, 我们可以定义加法: + +`ADD = λab.(a S)b` + +**挑战**: 试定义乘法函数! + +## 变得更小: SKI, SK 和 Iota + +### SKI 组合子演算 + +令 S, K, I 为下列函数: + +`I x = x` + +`K x y = x` + +`S x y z = x z (y z)` + +我们可以将 lambda 演算中的表达式转换为 SKI 组合子演算中的表达式: + +1. `λx.x = I` +2. `λx.c = Kc` +3. `λx.(y z) = S (λx.y) (λx.z)` + +以邱奇数 2 为例: + +`2 = λf.λx.f(f x)` + +对于里面的部分 `λx.f(f x)`: + +``` + λx.f(f x) += S (λx.f) (λx.(f x)) (case 3) += S (K f) (S (λx.f) (λx.x)) (case 2, 3) += S (K f) (S (K f) I) (case 2, 1) +``` + +所以: + +``` + 2 += λf.λx.f(f x) += λf.(S (K f) (S (K f) I)) += λf.((S (K f)) (S (K f) I)) += S (λf.(S (K f))) (λf.(S (K f) I)) (case 3) +``` + +对于第一个参数`λf.(S (K f))`有: + +``` + λf.(S (K f)) += S (λf.S) (λf.(K f)) (case 3) += S (K S) (S (λf.K) (λf.f)) (case 2, 3) += S (K S) (S (K K) I) (case 2, 3) +``` + +对于第二个参数`λf.(S (K f) I)`有： + +``` + λf.(S (K f) I) += λf.((S (K f)) I) += S (λf.(S (K f))) (λf.I) (case 3) += S (S (λf.S) (λf.(K f))) (K I) (case 2, 3) += S (S (K S) (S (λf.K) (λf.f))) (K I) (case 1, 3) += S (S (K S) (S (K K) I)) (K I) (case 1, 2) +``` + +综上: + +``` + 2 += S (λf.(S (K f))) (λf.(S (K f) I)) += S (S (K S) (S (K K) I)) (S (S (K S) (S (K K) I)) (K I)) +``` + +如果展开这个表达式, 我们最终又会得到邱奇数 2 的相同的表达式. + +### SK 组合子演算 + +SKI 组合子演算还可以进一步简化. 我们可以通过`I = SKK`移除 I 组合子. +我们可以将所有的 `I` 替换为 `SKK`. + +### ι 组合子 + +SK 组合子仍不是最简的. 定义: + +``` +ι = λf.((f S) K) +``` + +我们有: + +``` +I = ιι +K = ι(ιI) = ι(ι(ιι)) +S = ι(K) = ι(ι(ι(ιι))) +``` + +## 更多阅读: + +1. [A Tutorial Introduction to the Lambda Calculus](http://www.inf.fu-berlin.de/lehre/WS03/alpi/lambda.pdf)(英文) +2. [Cornell CS 312 Recitation 26: The Lambda Calculus](https://courses.cs.cornell.edu/cs312/2008sp/recitations/rec26.html)(英文) +3. [Wikipedia - Lambda Calculus](https://en.wikipedia.org/wiki/Lambda_calculus)(英文) +4. [Wikipedia - SKI combinator calculus](https://en.wikipedia.org/wiki/SKI_combinator_calculus)(英文) +5. [Wikipedia - Iota and Jot](https://en.wikipedia.org/wiki/Iota_and_Jot)(英文) +6. [λ演算 - 维基百科，自由的百科全书](https://zh.wikipedia.org/wiki/SKI%E7%BB%84%E5%90%88%E5%AD%90%E6%BC%94%E7%AE%97) +7. [SKI组合子演算 - 维基百科，自由的百科全书](https://zh.wikipedia.org/wiki/SKI%E7%BB%84%E5%90%88%E5%AD%90%E6%BC%94%E7%AE%97) |