1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
|
---
category: Algorithms & Data Structures
name: Asymptotic Notation
contributors:
- ["Jake Prather", "http://github.com/JakeHP"]
translators:
- ["João Farias", "https://github.com/JoaoGFarias"]
lang: pt-br
---
# Notação Assintótica
## O que é?
Notação Assintótica é uma linguagem que nos permite analisar o tempo de execução
de um algoritmo através da indentificação de seu comportamento com o
crescimento da entrada oferecida. Isso também é conhecido como taxa de
crescimento do algoritmo. O algoritmo de repente torna-se lento quando o
tamanho da entrada cresce? O algoritmo mantém, em geral, seu tempo de execução
rápido mesmo com aumento da entrada? Notação Assintótica nos dá a habilidade de
responder estas questões.
## Quais são as alternativas para responder a estas questões?
Um modo seria contar o número de operações primitivas com diferentes tamanhos de
entrada. Apesar desta ser uma solução válida, o trabalho que ela requer, mesmo para algoritmos simples, não a justifica.
Outro modo é fisicamente medir a quantidade de tempo que um algoritmo requer
para terminar com diferentes tamanhos de entrada. Entretanto, a precisão e
relatividade (tempo obtido seria relativo apenas à máquina onde ocorreu a
execução) deste método está limitado a variáveis de ambiente, como hardware,
poder de processamento, etc.
## Tipos de Notação Assintótica
Na primeira seção desse documento, descrevemos como Notação Assintótica identifica o comportamento de um algoritmo
a medida que o tamanho da entrada cresce. Imaginemos um algoritmo como uma função
*f*, *n* como o tamanho da entrada e *f(n)* sendo o tempo de execução. Então,
para dado algoritmo *f*, com entrada de tamanho *n*, você terá tempo de execução
*f(n)*. Isto resulta em um gráfico onde a coordernada Y é o tempo de execução
, a coordernada X representa o tamanho da entrada e os pontos representam o tempo
de execução para dado tamanho de entrada.
Você pode representar a função, ou o algoritmo, com Notação Assintótica de várias
maneiras. Você pode representar um algoritmo nas formas de Melhor Caso, Pior Caso
ou Caso Médio.
A maneira mais comum de analisar um algoritmo é pelo Pior Caso. Você tipicamente
não avalia o melhor caso, porque essas condições não são atingidas com frequência.
Um bom exemplo disto seria em algoritmos de ordenação; especificamente, na adição
de elementos à árvores. O melhor caso na maioria de algoritmos pode ser de apenas
uma operação. Entretanto, na maioria dos casos, o elemento a ser adicionado terá
que percorrer a árvore de forma apropriada, o que pode causar a analise de um
ramo inteiro.
Este é o pior caso, e isto é o que você está se preparando.
### Tipos de funções, limites e simplificação
```
Função Logarítmica - log n
Função Linear - an + b
Função Quadrática - an^2 + bn + c
Função Polinomial - an^z + . . . + an^2 + a*n^1 + a*n^0, onde *z* é uma constante
Função Exponencial - a^n, onde a é alguma constante
```
Estas são as funções básicas de crescimento usadas em várias notações. A lista
começa com a de crescimento mais lento (logarítima, a de execução mais rápida)
e segue para a de crescimento mais rápido (exponencial, de execução mais lenta).
Repare que enquando *n*, a entrada, cresce, cada uma dessas funções cresce mais
rápido que quadrático, polinimial e exponencial, comparadas com logaritma e linear.
Uma nota extremamente importante para notações é tentar usar os termos mais simples.
Isto significa descartar constantes e termos de ordem mais baixa, pois quando o
tamanho da entrada cresce para o infinito (limites matemáticos), os termos de ordem
mais baixa e constantes tornam-se irrelevantes. Por exemplo, se você tiver uma
constante muito grande, 2^9001, a simplificação não afeterá sua notação.
Já que queremos as formas mais simples, mudemos nossa tabela um pouco...
```
Função Logarítmica - log n
Função Linear - n
Função Quadrática - n^2
Função Polinomial - n^z, onde *z* é uma constante
Função Exponencial - a^n, onde *a* é uma constante
```
### Big-O
Big-O, também escrita como O, é uma Notação Assintótica para o pior caso. Digamos
*f(n)* seja o tempo de exeução de um algoritmo e *g(n)) um tempo de complexidade
arbritário que você quer relacionar com seu algoritmo. *f(n)* é O(g(n)), se, para
quando constante real c (c > 0), *f(n)* <= *c g(n)* para todo tamanho de entrada
n (n > 0).
*Exemplo 1*
```
f(n) = 3log n + 100
g(n) = log n
```
`f(n)` é O(g(n))?
`3 log n + 100` é O(log n)?
Vejamos a definição de Big-O:
```
3log n + 100 <= c * log n
```
Há alguma constante c que satisfaça a definição para todo n?
```
3log n + 100 <= 150 * log n, n > 2 (Indefinido em n = 1)
```
Sim! A definição de Big-I for atentida, portante `f(n)` é `O(g(n))`.
*Exemplo 2*
```
f(n) = 3*n^2
g(n) = n
```
`f(n)` é O(g(n))?
`3 * n^2` é O(n)?
Vejamos a definição de Big-O:
```
3 * n^2 <= c * n
```
Há alguma constante c que satisfaça a definição para todo n?
Não, não há. `f(n)` não é O(g(n)).
### Big-Omega
Big-Omega, também escrita como Ω, é uma Notação Assintótica para o melhor caso.
`f(n)`é Ω(g(n)), se para qualquer constante real c (c > 0), `f(n)` é >= `c g(n)` para todo tamanho de entrada n (n > 0).
Sinta-se livre para adicionar mais exemplos. Big-O é a notação primária usada para medir complexidade de algoritmos.
### Notas Finais
É difícil manter esse tipo de tópico curto e você deveria ler os livros e artigos listados abaixo. Eles cobrem muito mais profundamente definições e exemplos. Mais x='Algoritms & Data Structures' virá; teremos um documento sobre analisar código em breve.
## Livros
* [Algorithms](http://www.amazon.com/Algorithms-4th-Robert-Sedgewick/dp/032157351X)
* [Algorithm Design](http://www.amazon.com/Algorithm-Design-Foundations-Analysis-Internet/dp/0471383651)
## Artigos Online
* [MIT](http://web.mit.edu/16.070/www/lecture/big_o.pdf)
* [KhanAcademy](https://www.khanacademy.org/computing/computer-science/algorithms/asymptotic-notation/a/asymptotic-notation)
|
